二次曲線を比較して解く ― 標準形・平行移動・接線

放物線・楕円・双曲線を同じ観点で整理し、平方完成から焦点を読む手順と、共有点・接線を判別する手順を身に付ける。

この単元の目標

三つの二次曲線の距離による定義と標準形を対応させ、焦点・準線・漸近線を比較できる。
平方完成と座標の平行移動を使い、曲線の種類・中心または頂点・軸の向きを判定できる。
直線を代入した方程式の次数を確認し、共有点と接線を判別できる。

📑 目次

1．最初に「何が一定か」を比べる
2．標準形から何を読み取るか
3．平行移動は新しい座標で処理する
4．共有点・接線は「代入→次数→判別式」
5．接点が与えられたときの近道
練習問題：比較から解法選択まで
確認クイズ

1．最初に「何が一定か」を比べる

本記事は、二次曲線の詳細な性質を個別に調べるよりも、式を見て種類を選び、問題の解法を組み立てる練習に重点を置きます。以下では回転のない非退化な曲線を扱います。点 $P$ から焦点 $F$ までの距離を $PF$ 、直線までの距離を $d(P,\ell)$ と書きます。

曲線	距離による定義	横向きの標準形
放物線	焦点までの距離＝準線までの距離	$y^2=4px\quad(p\ne0)$
楕円	2焦点までの距離の和が $2a$	$x^2/a^2+y^2/b^2=1\quad(a>b>0)$
双曲線	2焦点までの距離の差の絶対値が $2a$	$x^2/a^2-y^2/b^2=1\quad(a,b>0)$

楕円・双曲線の焦点を $(\pm c,0)$ とします。楕円は $2a>2c$ 、双曲線は $0<2a<2c$ が必要です。「差」には絶対値を付けるので、双曲線の左右両方の枝が含まれます。円は $a=b$ の楕円ですが、ここでは準線も比べるため、円以外を表に載せています。

2．標準形から何を読み取るか

🔍 放物線は二つの距離を二乗して比べる

焦点と準線を決める
$F=(p,0),\quad \ell:x=-p,\quad p\ne0$
pの絶対値は頂点から焦点までの距離。p自身には向きの情報がある。
距離が等しい条件を書く
$\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|$
点から鉛直線までの距離は、横座標の差の絶対値である。
両辺を二乗して整理
$(x-p)^2+y^2=(x+p)^2\quad\Longleftrightarrow\quad y^2=4px$
元の両辺が非負なので二乗は同値。係数4pをそのまま焦点の座標にしない。

項目	放物線	楕円	双曲線
焦点	$(p,0)$	$(\pm c,0),\ c^2=a^2-b^2$	$(\pm c,0),\ c^2=a^2+b^2$
準線	$x=-p$	$x=\pm a^2/c$	$x=\pm a^2/c$
頂点（横軸上）	$(0,0)$	$(\pm a,0)$	$(\pm a,0)$
実数の漸近線	なし	なし	$y=\pm(b/a)x$
形を選ぶ手掛かり	二乗項が一つ	二乗項が同符号	二乗項が異符号

二乗項の符号だけで最終決定しないこと。例えば

x^2+y^2=-1

は実点を持たず、

x^2-y^2=0

は2直線です。平方完成して右辺を整理し、非退化な標準形になるか確かめます。

放物線は $p>0$ なら右向き、 $p<0$ なら左向きです。楕円の長軸は大きい分母の側、双曲線の枝が開く軸は右辺を1にしたときの正の項の側です。双曲線では $a$ が $b$ より大きいとは限りません。縦向きの場合は、表の $x$ と $y$ の役割を交換します。

焦点と対応する準線について $PF=e\,d(P,\ell)$ とも書けます。放物線は $e=1$ 、楕円は $e=c/a<1$ 、双曲線は $e=c/a>1$ 。右焦点には正符号の準線、左焦点には負符号の準線が対応します。準線は距離を測る基準、漸近線は遠方で曲線が近づく直線であり、別物です。

🔍 符号の違いが焦点の公式を変える理由

楕円の短軸端で距離の和を見る
$P=(0,b):\quad 2\sqrt{c^2+b^2}=2a$
左右の焦点までの距離が等しく、和が2aになる。
楕円では引き算
$c^2=a^2-b^2$
長半径aが、直角三角形の斜辺になる。
双曲線の右枝で距離差を使う
$r_- - r_+=2a,\quad r_-^2-r_+^2=4cx\ \Longrightarrow\ r_+=cx/a-a$
r₋は左焦点、r₊は右焦点までの距離。右枝ではx≥a、c>aとする。
距離公式を代入して整理
$(x-c)^2+y^2=(cx/a-a)^2\ \Longrightarrow\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$
したがってb²=c²−a²、つまりc²=a²+b²。左枝は対称性で得られる。

🔍 双曲線の漸近線を読む

二乗項を因数分解
$\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=1$
遠方での傾きを確認
$\left(\frac{y}{x}\right)^2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{b^2}{x^2}\ \longrightarrow\ \frac{b^2}{a^2}$
各枝でy=±(b/a)√(x²−a²)と書けば、対応する直線との差も0に近づく。
漸近線そのものを代入
$y=\pm\frac ba x\ \Longrightarrow\ 0=1$
標準形の双曲線と、その漸近線には有限の共有点がない。

3．平行移動は新しい座標で処理する

X=x-h,\quad Y=y-k

平方完成で $(x-h)$ と $(y-k)$ を作り、いったん $X,Y$ の標準形として読みます。最後に点の座標へ $(h,k)$ を足します。楕円・双曲線なら中心が $(h,k)$ 、放物線なら頂点が $(h,k)$ です。直線も同じだけ移動するので、双曲線の漸近線は $y-k=\pm(b/a)(x-h)$ となります。

例題1：展開された楕円を比較表に戻す

$9x^2+25y^2-18x+100y-116=0$ の中心、焦点、準線を求めよ。

解答・解説

平方完成すると $9(x-1)^2+25(y+2)^2=225$ 。よって $(x-1)^2/25+(y+2)^2/9=1$ で中心は $(1,-2)$ 。長軸は横向き、 $a=5,b=3,c=4$ だから焦点は $(-3,-2),(5,-2)$ 、準線は $x=1\pm25/4$ 。検算として右の頂点 $(6,-2)$ を元の式に代入すると $324+100-108-200-116=0$ となる。

「中心が右へ1、下へ2」なら式は

(x-1)

と

(y+2)

。式の中の符号と移動方向を混同したら、新座標の原点

X=Y=0

を解いて中心を確かめましょう。

4．共有点・接線は「代入→次数→判別式」

直線を曲線に代入し、一変数の方程式にする。鉛直線なら x を定数として代入する。
最高次係数を調べる。二次方程式のままなら判別式 D を使う。
二次なら D>0 は2共有点、D=0 は重解に対応する接点、D<0 は共有点なし。
一次式や定数式になった場合は直接解く。共有点が1個というだけで接線と断定しない。

🔍 楕円と直線 y=mx+n の接線条件

代入して分母を払う
$(b^2+a^2m^2)x^2+2a^2mnx+a^2(n^2-b^2)=0$
a,b>0なので二次係数は常に正。
判別式を整理
$\frac D4=a^2b^2(b^2+a^2m^2-n^2)$
接線条件
$n^2=a^2m^2+b^2$
これは傾きが存在する直線についての条件。鉛直接線x=±aは別に調べる。

例題2：指定した傾きの楕円の接線

楕円 $x^2/9+y^2/4=1$ に接し、傾きが1である直線をすべて求め、接点も示せ。

解答・解説

$y=x+n$ と置くと $13x^2+18nx+9n^2-36=0$ 。 $D=144(13-n^2)$ より $n=\pm\sqrt{13}$ 。接線は $y=x\pm\sqrt{13}$ 。重解は $x=-9n/13$ 、 $y=4n/13$ だから接点は $(-9n/13,4n/13)$ 。 $x^2/9+y^2/4=n^2/13=1$ で曲線上にあることも確認できる。

双曲線に $y=mx+n$ を代入すると、二次係数は $b^2-a^2m^2$ です。 $m=\pm b/a$ ではこれが0になり、直線は漸近線と平行になります。接線条件を公式として使う前に、この場合を除かなければなりません。

(b^2-a^2m^2)x^2-2a^2mnx-a^2(n^2+b^2)=0,\quad \frac D4=a^2b^2(n^2+b^2-a^2m^2)

例題3：共有点が1個でも接線とは限らない

双曲線 $x^2/4-y^2=1$ と、直線 $y=x/2$ 、 $y=x/2+1$ の共有点をそれぞれ調べよ。後者は接線か。

解答・解説

前者は代入すると $0=1$ で共有点なし。この直線は漸近線である。後者は $x^2/4-(x/2+1)^2=1$ 、すなわち $-x-1=1$ から $x=-2,y=0$ の1点だけを共有する。しかしこの頂点での接線は $x=-2$ 。したがって $y=x/2+1$ は接線ではない。二次式が一次式に下がったことが原因であり、重解が生じたのではない。

5．接点が与えられたときの近道

曲線上の点 $(x_0,y_0)$ が既知なら、次の接線の公式を使えます。楕円・双曲線では二乗項を座標の積に置き換えた形です。平行移動後は $x,y,x_0,y_0$ をすべて新座標に直してから使います。

\begin{aligned}y^2=4px &: \ y_0y=2p(x+x_0)\\ x^2/a^2+y^2/b^2=1 &: \ x_0x/a^2+y_0y/b^2=1\\ x^2/a^2-y^2/b^2=1 &: \ x_0x/a^2-y_0y/b^2=1\end{aligned}

曲線外の点を接点公式へ代入しても、その点での接線にはなりません。また双曲線で形式的に

D=0

を計算すると、漸近線まで候補に入る場合があります。必ず二次係数が0でないことと、実際の接点が存在することを確認します。放物線でも軸に平行な直線は共有点が1個でも通常は接線ではありません。

練習問題：比較から解法選択まで

焦点や準線を聞かれたら平方完成、直線の切片を聞かれたら代入と判別式、接点が既知なら接点公式、と入口を選びます。答えを出した後は、焦点が対称に並ぶか、接点が曲線と直線の両方を満たすかを確かめましょう。

練習問題

放物線 $(y-1)^2=-8(x+2)$ の頂点・焦点・準線・開く向きを求めよ。
ヒント
$X=x+2,Y=y-1$ として $Y^2=4pX$ と比べる。
解答・解説
$p=-2$ 、頂点は $(-2,1)$ 。新座標の焦点 $(-2,0)$ を戻して焦点は $(-4,1)$ 、準線 $X=2$ は $x=0$ 。左向きに開く。頂点から焦点・準線までの距離はどちらも2。
楕円 $(x+1)^2/4+(y-3)^2/9=1$ の焦点と準線を求めよ。
ヒント
長軸は縦向き。長半径は3、短半径は2。
解答・解説
$c=\sqrt{9-4}=\sqrt5$ 。中心 $(-1,3)$ から縦方向に移動して焦点は $(-1,3\pm\sqrt5)$ 。準線も横ではなく縦座標が一定の直線 $y=3\pm9/\sqrt5$ になる。
双曲線 $x^2/9-y^2/16=1$ の漸近線と、点 $(5,16/3)$ における接線を求めよ。
ヒント
点が曲線上にあることを確かめてから接点公式を使う。
解答・解説
漸近線は $y=\pm4x/3$ 。 $25/9-(256/9)/16=1$ より指定点は曲線上。接線は $5x/9-y/3=1$ 、すなわち $5x-3y=9$ 。代入すると $(3x-15)^2=0$ が得られ、 $x=5$ が重解となる。
放物線 $y^2=8x$ と直線 $y=x+t$ の共有点の個数を実数 $t$ で分類し、接するときの接点を求めよ。さらに直線 $y=2$ は接線か。
ヒント
前半は $(x+t)^2=8x$ の判別式。後半は代入後の次数が違う。
解答・解説
$x^2+(2t-8)x+t^2=0$ の判別式は $D=64-32t$ 。 $t<2$ で2個、 $t=2$ で1個、 $t>2$ で0個。接するとき $x=2,y=4$ 。一方 $y=2$ は $(1/2,2)$ の1点で交わるが、そこでの接線は $y=2x+1$ なので接線ではない。

確認クイズ

問1. 双曲線 $y^2/4-x^2/9=1$ の焦点はどれか。

問2. 双曲線 $x^2/4-y^2=1$ に直線 $y=x/2$ を代入すると、形式的な判別式は0になる。正しい結論は？

問3. 双曲線 $(x-2)^2/9-(y+1)^2/4=1$ の漸近線はどれか。

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