無限等比級数と極限

|r| < 1 で収束する無限等比級数、循環小数の分数化、面積問題への応用。

この単元の目標

無限等比級数の収束条件 |r| < 1 と和の公式を使える
循環小数を無限等比級数として分数に直せる
図形の無限分割の面積・長さを級数の和として求められる

📑 目次

無限級数の収束
無限等比級数——なぜ |r| < 1 が必要か
循環小数は分数だった
面積問題への応用
練習問題

無限級数の収束

無限個の数の和は、普通の意味では足せません。そこで「初項から第 n 項までの部分和 $S_n$ をまず計算し、n を限りなく大きくしたときの極限」として和を定義します。極限が存在するとき級数は収束するといい、その極限値を級数の和と呼びます。極限が存在しなければ発散です。

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n \quad (S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n)

無限等比級数——なぜ |r| < 1 が必要か

🔍 収束条件と和の公式

Step 1: 部分和の公式
$S_n = \dfrac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \qquad (r \ne 1)$
有限項の等比数列の和。ここまでは数学Cの既習内容です。
Step 2: r の場合分けで極限を見る
$\lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0 & (|r| < 1) \\ 1 & (r = 1) \\ \text{収束しない} & (|r| \ge 1,\ r \ne 1) \end{cases}$
r = 1 なら各項は一定値 a₁ の繰り返しなので明らかに発散。|r| ≥ 1 では項自体が 0 に向かわないため部分和も集まりません。
Step 3: 収束の場合だけ極限をとる
$|r| < 1 \ \Rightarrow\ \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{a_1(1 - 0)}{1 - r} = \dfrac{a_1}{1 - r}$
公式が成り立つのは |r| < 1 のときだけ。「無限に足しても有限になる」のは、各項が急速に小さくなるからです。

和の公式

\dfrac{a_1}{1 - r}

を書く前に、必ず「

|r| < 1

だから収束」と一言添えるのが採点上のマナー。条件の確認なしに公式を当てはめるのは典型減点です。

循環小数は分数だった

例題: 0.777… を分数で表せ

$0.777\ldots = \dfrac{7}{10} + \dfrac{7}{100} + \dfrac{7}{1000} + \cdots$ を無限等比級数とみて分数化せよ。

解答・解説

初項 $\tfrac{7}{10}$ 、公比 $\tfrac{1}{10}$ で $|r| = \tfrac{1}{10} < 1$ より収束。和は $\dfrac{\tfrac{7}{10}}{1 - \tfrac{1}{10}} =$ ** $\dfrac{7}{9}$ **

$0.333\ldots = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
$0.121212\ldots = \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$ （循環節 2 桁なら分母 99）
一般に循環節 k 桁の循環小数は、分子＝循環節の数字、分母＝k 個の 9 という分数になる

面積問題への応用

正方形や線分を「残りの一辺を同じ比率で切り分ける」操作を無限に繰り返す図形問題は、無限等比級数の登竜門です。コツは、第 n 回の操作で付け加わる面積（または長さ）を $a_n$ とおき、それが公比 r の等比数列になることを示してから和をとること。残りの面積が毎回同じ割合で縮むことを使うと、直接級数を組まなくても答えが出ることもあります。

例題

一辺 1 の正方形を、左半分（幅 $\tfrac{1}{2}$ の縦長長方形）を残して次々に「右側の残りをまた半分」に塗り分けていく。塗った部分の総面積を求めよ。

解答・解説

塗る面積は $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \ldots$ で初項 $\tfrac{1}{2}$ 、公比 $\tfrac{1}{2}$ 。よって総面積 $= \dfrac{\tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}} =$ **1（正方形全体）**

練習問題

無限等比級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 2\left( \dfrac{3}{4} \right)^{n-1}$ の和を求めよ。
ヒント
初項 2、公比 $\tfrac{3}{4}$ 。 $|r| < 1$ を確認してから公式。
解答・解説
$\dfrac{2}{1 - \tfrac{3}{4}} =$ **8**
無限等比級数 $1 + x + x^2 + \cdots$ が収束するとき、x の範囲と和を求めよ。
ヒント
収束条件は $|x| < 1$ 。
解答・解説
** $-1 < x < 1$ ** のとき収束し、和は ** $\dfrac{1}{1 - x}$ **
循環小数 $0.282828\ldots$ を分数で表せ。
ヒント
初項 $\tfrac{28}{100}$ 、公比 $\tfrac{1}{100}$ の無限等比級数。
解答・解説
$\dfrac{\tfrac{28}{100}}{1 - \tfrac{1}{100}} = \dfrac{28}{99}$
一辺 1 の正三角形に対し、「残りの図形から相似比 $\tfrac{1}{2}$ の正三角形を順に取り除く」操作を続けるとき、取り除いた面積の合計を求めよ（元の面積を S とする）。
ヒント
取り除く面積は $\tfrac{S}{4}, \tfrac{S}{16}, \tfrac{S}{64}, \ldots$ （相似な図形の面積比は相似比の 2 乗）。
解答・解説
$\dfrac{\tfrac{S}{4}}{1 - \tfrac{1}{4}} =$ ** $\dfrac{S}{3}$ **

確認クイズ

問1. 無限等比級数が収束する条件は？

問2. $0.999\ldots$ の値は？

問3. 級数の和を「部分和の極限」として定義する理由は？

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