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漸化式と帰納的定義

隣接2項間・特性方程式・階差数列——漸化式を一般項まで解き切る手法。

この単元の目標
  • 特性方程式を使って xn+1=axn+bx_{n+1} = ax_n + b 型の漸化式を解ける
  • 階差数列から一般項を復元できる
  • 隣接2項間の漸化式を変形して等差・等比型に帰着できる
📑 目次
  1. 漸化式とは
  2. 特性方程式による解法
  3. 階差数列の活用
  4. 練習問題

漸化式とは

「初項と、隣り合う項の関係式」で数列を定めるとき、この関係式を漸化式、定義の仕方を帰納的定義と呼びます。すべての項をいちいち書かずに済むコンパクトな表現であり、プログラミングの再帰処理や複利計算とも相通じる考え方です。ただし漸化式のままでは第 n 項がすぐ取り出せないので、一般項 $a_n$ を求める（漸化式を解く）ことが目標になります。

漸化式の型手がける方法帰着先
an+1=an+da_{n+1} = a_n + d等差数列そのものan=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d
an+1=rana_{n+1} = r a_n等比数列そのものan=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1}
xn+1=axn+bx_{n+1} = a x_n + b（a≠1a \ne 1, b≠0b \ne 0）特性方程式 α=aα+b\alpha = a\alpha + b等比数列 {xn−α}\{ x_n - \alpha \}
an+1=pan+qrna_{n+1} = p a_n + q r^n（r≠0r \ne 0）両辺を rn+1r^{n+1} で割る: an+1rn+1=pr⋅anrn+qr2\dfrac{a_{n+1}}{r^{n+1}} = \dfrac{p}{r} \cdot \dfrac{a_n}{r^n} + \dfrac{q}{r^2}等比数列 {anrn}\left\{ \dfrac{a_n}{r^n} \right\}
階差 bn=an+1−anb_n = a_{n+1} - a_n がきれい階差数列を足し合わせるan=a1+∑bka_n = a_1 + \sum b_k

特性方程式による解法

🔍 $x_{n+1} = ax_n + b$ 型の一般項

  1. Step 1: 特性方程式を立てる
    α=aα+b⟺(1−a)α=b⟺α=b1−a\alpha = a\alpha + b \quad \Longleftrightarrow \quad (1 - a)\alpha = b \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha = \dfrac{b}{1 - a}

    漸化式で n → ∞ として極限値 α になりそうな値を探すのが直観的な動機。定数 α なら移項したときに打ち消しあうはず、という発想です。

  2. Step 2: 漸化式の辺々から引く
    xn+1−α=axn+b−α=axn+(b−α)=axn−aα=a(xn−α)x_{n+1} - \alpha = ax_n + b - \alpha = a x_n + (b - \alpha) = a x_n - a\alpha = a(x_n - \alpha)

    α の定義 b=(1−a)αb = (1 - a)\alpha, つまり b−α=−aαb - \alpha = -a\alpha を使いました。ここで数列 {yn}\{ y_n \}, yn=xn−αy_n = x_n - \alpha を考えると……。

  3. Step 3: 等比数列に帰着
    yn+1=ayn,y1=x1−α⟹yn=(x1−α)an−1y_{n+1} = a y_n, \qquad y_1 = x_1 - \alpha \quad \Longrightarrow \quad y_n = (x_1 - \alpha) a^{n-1}

    公比 a、初項 x1−αx_1 - \alpha の等比数列です。元の数列は「不動点からのずれ」が毎回 a 倍される構造だったことになります。

  4. 結論
    xn=b1−a+(x1−b1−a)an−1x_n = \dfrac{b}{1 - a} + \left( x_1 - \dfrac{b}{1 - a} \right) a^{n-1}
  5. 実行例
    xn+1=2xn+1, x1=4⟹α=−1, xn+1=5⋅2n−1, ∴ xn=5⋅2n−1−1x_{n+1} = 2x_n + 1,\ x_1 = 4 \quad \Longrightarrow \quad \alpha = -1,\ x_n + 1 = 5 \cdot 2^{n-1},\ \therefore\ x_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 1

    検算: n=1 で 5−1=45-1=4 ✓、n=2 で 10−1=9=2⋅4+110-1=9 = 2 \cdot 4 + 1 ✓。答えを出したら小さい n での一致を必ず確かめましょう。

階差数列の活用

一般項が見えても、隣り合う項の差 bn=an+1−anb_n = a_{n+1} - a_n が等差・等比など「解ける数列」になっていることがあります。これが階差数列の発想で、和の記号を使って元の数列に戻すのが基本操作です。「差をとると簡単になる」形には多項式型（an=n2+na_n = n^2 + n など）、指数が混ざった交互型などがあり、入試でも頻出です。

an=a1+∑k=1n−1bk(bk=ak+1−ak)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \qquad (b_k = a_{k+1} - a_k)
例題

隣接2項間の漸化式 an+1−an=2n+1a_{n+1} - a_n = 2n + 1, a1=1a_1 = 1 で定まる数列の一般項を求めよ。

解答・解説

an=a1+∑k=1n−1(2k+1)=1+n(n−1)+(n−1)=1+n2−1=a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) = 1 + n(n-1) + (n-1) = 1 + n^2 - 1 = **n2n^2**（実際 1,4,9,…1, 4, 9, \ldots ✓）

練習問題

練習問題

  1. 漸化式 xn+1=3xn−4x_{n+1} = 3x_n - 4, x1=5x_1 = 5 で定まる数列の一般項を求めよ。

    ヒント

    特性方程式 α=3α−4\alpha = 3\alpha - 4 を解いて α=2\alpha = 2。{xn−2}\{ x_n - 2 \} は公比 3 の等比数列。

    解答・解説

    xn−2=3⋅3n−1x_n - 2 = 3 \cdot 3^{n-1} より **xn=3n+2x_n = 3^n + 2**

  2. 漸化式 xn+1=12xn+3x_{n+1} = \dfrac{1}{2} x_n + 3, x1=2x_1 = 2 で定まる数列の一般項を求めよ。

    ヒント

    α=6\alpha = 6。xn−6x_n - 6 は公比 12\tfrac{1}{2} の等比数列。

    解答・解説

    xn−6=(−4)(12)n−1x_n - 6 = (-4)\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} より **xn=6−82nx_n = 6 - \dfrac{8}{2^n}**

  3. 階差数列が 1,2,4,8,…1, 2, 4, 8, \ldots（公比 2 の等比）で、a1=3a_1 = 3 である数列 {an}\{ a_n \} の一般項を求めよ。

    ヒント

    an=3+∑k=1n−12k−1a_n = 3 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}。等比数列の和の公式を使う。

    解答・解説

    an=3+(2n−1−1)=a_n = 3 + (2^{n-1} - 1) = **2n−1+22^{n-1} + 2**

  4. 漸化式 an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2n, a1=1a_1 = 1 で表される数列について、a10a_{10} を求めよ。

    ヒント

    a10=1+∑k=192ka_{10} = 1 + \sum_{k=1}^{9} 2k。

    解答・解説

    1+2⋅9⋅102=1 + 2 \cdot \dfrac{9 \cdot 10}{2} = **91**

確認クイズ

問1. 漸化式 xn+1=axn+bx_{n+1} = ax_n + b の特性方程式は？

問2. 特性方程式の解を α としたとき、{xn−α}\{ x_n - \alpha \} はどんな数列？

問3. 階差数列 {bn}\{ b_n \} から元の数列へ戻す式は？

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