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統計的な推測

二項分布・正規分布から母集団の平均を推定する。

📑 目次
  1. 確率分布と期待値
  2. 正規分布と標本
  3. 小ネタ: ガルトン板——二項分布が正規分布に化ける

確率分布と期待値

成功確率 p の試行を n 回行うときの成功回数 X は二項分布 B(n, p) にしたがい、期待値と分散は次の通りです。

E(X)=np,V(X)=np(1−p)E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p)

正規分布と標本

  • n が大きいとき二項分布は正規分布 N(np, np(1−p)) で近似できる（中心極限定理の芽生え）
  • 標本平均 xˉ\bar{x} は N(m,σ2/n)N(m, \sigma^2/n) に近づく → 標本を増やすほど推定は精密になる
  • 95% 信頼区間: mm の推定は xˉ±1.96×σn\bar{x} \pm 1.96 \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
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プレイグラウンド: サイコロの目の分布が回数を増やすと理論値に収束する様子＝大数の法則
例題

表が出る確率が不明のコインを400回投げて224回表が出た。表の出る確率 p の95%信頼区間を求めよ（ただし σ=p(1−p)≈0.5\sigma = \sqrt{p(1-p)} \approx 0.5 と近似）。

解答・解説

p^=224/400=0.56\hat{p} = 224/400 = 0.56、誤差幅 1.96×0.5/400=0.0491.96 \times 0.5/\sqrt{400} = 0.049。よって **0.51 ≤ p ≤ 0.61** 程度。

小ネタ: ガルトン板——二項分布が正規分布に化ける

合計 0 個

釘のたびに左右 1/2 ずつに分かれるので、左端から b 番目のビンに入る確率は二項分布 B(9, ½)。ボールを増やすと中央が高く両裾が低い**正規分布の形**が現れます。

釘のたびに左右 1/2 の運命の分かれ道。ボール 300 個落として正規分布の鐘型を描かせよう
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