数列と漸化式

一般項・和の求め方と、漸化式を解く代表的な手法。

この単元の目標

等差・等比数列の一般項と和を求められる
数学的帰納法で予想を証明できる

📑 目次

基本の数列
階差数列
数学的帰納法
練習問題
小ネタ: 数列は自然界にも現れる

基本の数列

	一般項	初項から第 n 項までの和 $S_n$
等差数列（公差 d）	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$
等比数列（公比 r）	$a_n = a_1 r^{n-1}$	$S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ （r ≠ 1）

階差数列

隣り合う項の差 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を階差数列といいます。等差・等比など和を計算できる形なら、 $a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k$ （ $n\ge2$ ）として一般項が求まります。 $n=1$ は初項で別に確認します。等比数列の和は公比 $r=1$ のとき $S_n=na_1$ です。

数学的帰納法

① 基礎: n = 1 のとき成り立つことを確かめる
② 帰納: n = k のとき成り立つと仮定し、n = k + 1 でも成り立つことを示す
①②よりすべての自然数 n で成立

例題

$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を数学的帰納法で証明せよ。

解答・解説

① n=1: 左辺 1、右辺 $\tfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$ ✓　② n=k で成立とすると、n=k+1 の左辺は $\tfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \tfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ となり右辺に一致 ✓

②の仮定（n = k の成立）を実際に使わずに n = k+1 を変形してしまうのが典型的な減点パターン。「仮定の式」を出発点に変形しましょう。

練習問題

初項 3、公差 4 の等差数列の第 20 項を求めよ。
解答・解説
$a_{20} = 3 + 19 \times 4 =$ **79**
初項 1、公比 2 の等比数列の初項から第 10 項までの和を求めよ。
ヒント
$S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ 。
解答・解説
$S_{10} = \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} =$ **1023**
数列 $3, 7, 13, 21, 31, \ldots$ の一般項を求めよ。（階差数列を作ると等差になる）
ヒント
階差 $4, 6, 8, 10, \ldots$ は公差 2 の等差数列。
解答・解説
$b_k = 2k + 2$ なので $a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+2) = 3 + (n-1)(n+2) =$ ** $n^2 + n + 1$ **

トピック第 1 問

初項

4

、公差

6

の等差数列の第

9

項を求めよ。

無限ドリル: 等差・等比数列の一般項がランダムに出題されます

小ネタ: 数列は自然界にも現れる

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