空間ベクトルと平面の方程式

空間ベクトルの成分・内積から、平面の方程式、2直線のなす角、球の方程式まで。

この単元の目標

空間ベクトルを成分表示で演算し、内積・大きさ・なす角を計算できる
法線ベクトルから平面の方程式 ax + by + cz = d を立てられる
球の方程式を立て、平方完成で中心と半径を求められる

📑 目次

空間ベクトルの成分と内積
平面の方程式——成分で立てる
2直線のなす角
球の方程式
練習問題

空間ベクトルの成分と内積

なす角を求める2本のベクトル、直線の方向ベクトル、平面の法線ベクトルはいずれも零ベクトルでないことが前提です。球の半径は

r>0

とします。

空間のベクトルは 3 つの実数の組 $(a_1, a_2, a_3)$ で表します。演算のルールは平面ベクトルとまったく同じで、成分ごとに足し引きするだけです。内積も同様に定義されるので、「なす角を求める」「垂直条件を調べる」という平面の技がそのまま空間で使えます。

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}, \qquad \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0, \qquad \cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

平面の方程式——成分で立てる

空間では「直線の代わりに平面」が一次方程式で表されます。平面に垂直なベクトルを法線ベクトルと呼び、平面上の任意の点 X について「X と平面上の定点 A を結ぶベクトルが法線に垂直」という条件を式に書けば平面の方程式になります。外積を使わなくても、成分での内積計算だけで一次方程式 $ax + by + cz = d$ が得られるのです。

🔍 法線ベクトルから平面の方程式を導く

Step 1: 垂直条件を書き下す
$\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AX}} = 0$
法線 n は平面内のすべてのベクトルに垂直。A(a_0, b_0, c_0) は平面上の定点、X(x, y, z) は動点です。
Step 2: 成分で書く
$(a, b, c) \cdot (x - a_0,\ y - b_0,\ z - c_0) = 0$
Step 3: 展開して整理
$a(x - a_0) + b(y - b_0) + c(z - c_0) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad ax + by + cz = aa_0 + bb_0 + cc_0$
右辺は定点 A だけで決まる定数。これを d とおけば平面の方程式 ax + by + cz = d が完成します。
具体例
$\text{点 } (1, 2, 1) \text{、法線 } (2, -1, 3): \quad 2(x - 1) - (y - 2) + 3(z - 1) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x - y + 3z = 3$
係数は法線ベクトルそのもので、点を代入して右辺の定数を決めるだけです。

2直線のなす角

空間の 2 直線のなす角は、それぞれの方向ベクトルのなす角から求めます。直線の向きはどちら向きでもよい（逆向きも同じ直線）なので、内積が負になっても絶対値をとって鋭角側に合わせます。この「絶対値をとる」処理は試験での落とし穴なので注意しましょう。

\cos\theta = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} \qquad (0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2})

例題

方向ベクトルがそれぞれ $(1, 1, 0)$ と $(0, 1, 1)$ である 2 直線のなす角を求めよ。

解答・解説

$\cos\theta = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$ より ** $\theta = 60°$ **

球の方程式

ここで球の方程式とは、中心からの距離が一定値 r に等しい点の集合（球面）の方程式です。二次式を平方完成すれば中心と半径が読み取れます。中心と平面の距離を d とすると、球面との交わりは $d<r$ なら半径 $\sqrt{r^2-d^2}$ の円、 $d=r$ なら1点、 $d>r$ ならありません。

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 \quad (\text{中心 } (a, b, c), \text{ 半径 } r)

例題

原点を中心とし、点 $(1, 2, 2)$ を通る球の方程式を求めよ。

解答・解説

半径は $r = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ 。よって ** $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ **

図形	ベクトルでの条件	方程式
平面	法線 $\vec{n} = (a, b, c)$ に垂直	$ax + by + cz = d$
球（中心 C, 半径 r）	$\|\overrightarrow{\mathrm{CX}}\| = r$	$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$
直線（方向 $\vec{d} = (l, m, n)$ ）	$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = t\vec{d}$	$x = a_0 + lt,\ y = b_0 + mt,\ z = c_0 + nt$

練習問題

A(1, 0, 2), B(3, 4, 0) 間の距離を求めよ。
ヒント
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (2, 4, -2)$ の大きさ。
解答・解説
$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{24} =$ ** $2\sqrt{6}$ **
点 (1, 2, 0) を通り、法線ベクトル $(3, -1, 2)$ をもつ平面の方程式を求めよ。
ヒント
$3(x - 1) - (y - 2) + 2z = 0$ を整理する。
解答・解説
** $3x - y + 2z - 1 = 0$ **
球 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z = 4$ の中心と半径を求めよ。
ヒント
x と z について平方完成する。
解答・解説
$(x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$ より中心 **(1, 0, -2)**、半径 **3**

確認クイズ

問1. 平面 $ax + by + cz = d$ の法線ベクトルは？

問2. 方向ベクトル $\vec{u}, \vec{v}$ をもつ 2 直線のなす角 θ の余弦は？

問3. 空間の 2 点 A, B に対し $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ の成分計算は？

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