分散・標準偏差と相関

データのばらつきを数値化し、2つのデータの関係を読む。

この単元の目標

📑 目次

全員の身長をcmからmに変えても、誰が高いかは変わりません。しかし数値のばらつきは100分の1になります。統計量を比較するときは単位と変換をそろえなければ、数値の大きさだけで結論を誤ります。

y=ax+bと変換すると平均もa倍してbを足した値になります。平均との差はy−平均y=a(x−平均x)なので、分散はa²倍、標準偏差は|a|倍です。加えるbは平均との差から消えるため、ばらつきに影響しません。

相関係数は直線的な関係を測ります。曲線上に規則正しく並んでいても0になることがあります。散布図を先に眺め、外れ値や曲がった形を確認してから係数を読む順番が大切です。以下の数列は教材用の架空データです。

ここでの分散はデータ全体の記述としてnで割ります。母分散を推定する不偏分散（n−1で割る）とは目的が違います。また、どちらかの標準偏差が0なら相関係数は定義できません。

例題：負の係数による変換

xの平均が4、分散が9のとき、y=−2x+10の平均・分散・標準偏差は。

解答・解説

平均は−2×4+10=2、分散は(−2)²×9=36、標準偏差は√36=6。負の係数でもばらつきは負になりません。

例題：相関0でも規則はある

点(−1,1),(0,0),(1,1)の相関係数を求め、関係を説明せよ。

解答・解説

x平均0、y平均2/3。偏差積の和は−1/3+0+1/3=0で、両分散は正なので相関係数0。一方、全点がy=x²を満たします。直線的な相関0は関係なしを意味しません。

練習：判断の理由も確かめよう

データ2,4,6を10倍したときの分散と標準偏差は。
解答・解説
元の分散8/3の100倍で800/3。標準偏差は10√(8/3)。偏差が10倍だから二乗の平均は100倍です。
全データに−7を足すと分散はどうなるか。
解答・解説
変わりません。平均も−7だけ移動し、各値と平均との差が変わらないからです。
データがすべて5のとき、別のデータとの相関係数を0といえるか。
解答・解説
いえません。このデータの標準偏差は0で、相関係数の分母が0となるため未定義です。

\text{分散 } s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2, \qquad \text{標準偏差 } s = \sqrt{s^2}

例題

データ 1, 3, 5 の平均と分散を求めよ。

解答・解説

平均 $\bar{x} = 3$ 。偏差は $-2, 0, 2$ なので分散 $= \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3}$

2 つの量の関係を散布図で見るとき、点が右上がりに並べば正の相関、右下がりなら負の相関。相関係数 $r$ （ $-1 \le r \le 1$ ）はその強さを数値化します。

練習問題

データ 2, 4, 6, 8 の平均と分散を求めよ。
解答・解説
平均 5。偏差 $-3, -1, 1, 3$ → 分散 $\frac{9+1+1+9}{4} =$ **5**
「アイスの売上と水難事故の件数に正の相関がある」ことの正しい解釈は？
解答・解説
気温という**交絡因子**が両方を増やしている可能性が高い。因果関係とは言えない。
各データに 3 を足すと、平均と標準偏差はどう変わるか。
ヒント
足し算はばらつきを変えない。
解答・解説
平均は **3 増える**が、標準偏差は**不変**（ばらつきは平行移動で変わらない）。

確認クイズ（データ分析）

問1. 標準偏差の単位は何か。

問2. 外れ値の影響を受けにくい指標はどれか。

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