実数・絶対値と式の変形

実数の分類、絶対値を含む式、有理化、二重根号の処理。

この単元の目標

📑 目次

根号は「二乗すると元に戻る数のうち、0以上のもの」を選ぶ記号です。だから√(x²)はxそのものではなく|x|。温度が−3でも原点からの距離は3という数直線の感覚が、計算の符号ミスを防ぎます。

絶対値が二つある式は、中身が0になる点をすべて数直線に打ちます。点と点の間では各中身の符号が一定なので、一つの区間ごとに絶対値を外せます。境界でどちらの式からも同じ値になることも確かめます。

有理化では、和と差の積を利用すると根号が消えます。ただし分母が0でないことが先です。等式の両辺を二乗する操作は、逆向きに戻せない場合があるため、得た候補を必ず元の式に代入します。

√(u+v)=√u+√v は一般には成り立ちません。u=v=1なら左辺√2、右辺2です。根号を外す法則には非負などの条件もあります。

例題：二つの距離の和

|x−1|+|x−4|=5を解け。

解答・解説

1≤x≤4では距離の和は3で不適。x<1では5−2x=5よりx=0、x>4では2x−5=5よりx=5。両方を元の式に代入すると和が5になります。

例題：二乗で生じた余分な候補

√(x+2)=xを解け。

解答・解説

左辺は非負なのでx≥0が必要。二乗してx²−x−2=0よりx=2,−1。−1は条件に反し元の式でも1≠−1。解はx=2だけです。

練習：判断の理由も確かめよう

|a| = \begin{cases} a & (a \ge 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}

絶対値は「数直線上での原点からの距離」なので必ず 0 以上。式では中身の符号で場合分けします。 $|a - 2|$ は「a と 2 の距離」とも読めます。

例題

$a = -3$ のとき $|a - 1|$ を求めよ。

解答・解説

$a - 1 = -4 < 0$ なので $|a-1| = -(a-1) =$ **4**

有理化: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ （分母の根号を外す）
二重根号: $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$ （ $x+y$ と $xy$ を見つける）
同類項の根号はたし算できる: $\sqrt{12} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

練習問題

$\sqrt{50} + \sqrt{8} - \sqrt{18}$ を簡単にせよ。
解答・解説
$5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (5+2-3)\sqrt{2} =$ ** $4\sqrt{2}$ **
$\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ を分母に根号を含まない形にせよ。
ヒント
分子分母に $\sqrt{5}$ を掛ける。
解答・解説
$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。
ヒント
$7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2 - \sqrt{3})^2$
解答・解説
$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} =$ ** $2 - \sqrt{3}$ **（ $2 > \sqrt{3}$ に注意）

確認クイズ（数と式）

問1. 次のうち無理数はどれか。

問2. $|x - 3| = 2$ を解くと？

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