微分係数と導関数

平均変化率の極限として微分係数を定義し、導関数を求める。

この単元の目標

微分係数の意味（接線の傾き・瞬間の変化率）を理解する
多項式関数の導関数を求め、増減表をかける

📑 目次

微分係数の定義
導関数の計算規則
接線の方程式
発展：接線が通る点と極値・最大最小
練習問題

微分係数の定義

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

これは x = a における接線の傾きであり、瞬間の変化の割合でもあります。曲線上の2点 P(a), Q(a+h) を結ぶ割線の傾き（平均変化率）を考え、h を 0 に近づけた極限が微分係数です。

平均変化率から微分係数へ: 割線が接線に一致する様子

導関数の計算規則

ここでは多項式を扱い、冪の微分公式の n は正の整数とします。定数の導関数は0です。次の二項定理による導出は n が2以上の場合で、n=1 は定義から直接確認できます。

(x^n)' = n x^{n-1}, \qquad (fg)' = f'g + fg'

🔍 $(x^n)' = nx^{n-1}$ の導出——定義から二項定理まで

Step 1: 微分係数の定義を適用
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$
Step 2: 二項定理で展開
$(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$
$h$ を括り出せる項だけ注目する。
Step 3: 分子を整理
$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}$
最初の項以外はすべて h を因子にもつ。
Step 4: h → 0 の極限
$\lim_{h \to 0}\left[ nx^{n-1} + (\text{h を含む項}) \right] = nx^{n-1}$
残るのは最初の項だけ。これが「次数が1つ落ちて係数がかかる」理由の正体です。

例題

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ の増減表をかいて極値を求めよ。

解答・解説

$f'(x) = 3x(x - 2)$ 。増減表より **x = 0 で極大値 2、x = 2 で極小値 −2**

接線の方程式

y = f'(a)(x - a) + f(a)

増減表は必ず「f′ の符号 → f の増減」の順に書く。符号表を省略すると符号ミスが起きやすくなります。

発展：接線が通る点と極値・最大最小

「曲線上でない点 P を通る接線」では、接点を $Q(t, f(t))$ とおくのが定石です。P を通る条件 $f'(t) = \dfrac{f(t) - y_P}{t - x_P}$ から t を解きます。

発展例題（曲線外の点からの接線）

放物線 $y = x^2$ に、点 $(0, -4)$ から引いた接線の方程式を求めよ。

解答・解説

接点を $(t, t^2)$ とおくと傾きは $2t$ なので、 $2t = \frac{t^2 - (-4)}{t - 0}$ 。両辺に $t$ をかけて $2t^2 = t^2 + 4$ 、 $t = \pm 2$ 。傾きは $\pm 4$ なので接線は ** $y = 4x - 4$ と $y = -4x - 4$ **

また、閉区間での最大・最小は「極値＋区間の端点」の値をすべて比べれば求まります。これは物理（位置と速度の関係）や経済（限界費用）でも同じ形で現れる、微分の最もよく使う応用です。

発展例題（区間の最大最小）

$f(x) = x^3 - 3x$ , $-2 \le x \le 3$ の最大値・最小値を求めよ。

解答・解説

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ より極大 $f(-1) = 2$ 、極小 $f(1) = -2$ 。端点値は $f(-2) = -2$ , $f(3) = 18$ 。比較して**最大値 18、最小値 −2**

トピック第 1 問

次の関数を微分せよ。

f(x) = 2x^3+4x^2+4x-1

無限ドリル: 多項式の導関数計算が出題されます。冪の微分規則を体で覚えよう

トピック第 1 問

次の関数を微分せよ。

f(x) = \left( 2x^2 - 2 \right)^{3}

激ムズ無限ドリル（発展）: 積・合成関数の微分。連鎖律を使いこなせるか挑戦しよう

練習問題

$f(x) = x^3 - 12x$ の増減表をかき、極値を求めよ。
ヒント
$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x+2)(x-2)$ 。
解答・解説
**x = −2 で極大値 16、x = 2 で極小値 −16**
曲線 $y = \frac{1}{3}x^3$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めよ。
ヒント
$y' = x^2$ 、接点 $(1, \frac{1}{3})$ 。
解答・解説
傾きは $f'(1) = 1$ 。 $y = (x - 1) + \frac{1}{3}$ 、すなわち ** $y = x - \frac{2}{3}$ **
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x = 1$ で極小、 $x = -1$ で極大をもつとき、定数 a, b を求めよ。（発展）
ヒント
極値条件は $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ の解として現れる。
解答・解説
解の組は $(1, -1)$ なので $f'(x) = 3(x-1)(x+1) = 3x^2 - 3$ 。係数比較で **a = 0, b = −3**
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ , $0 \le x \le 4$ の最大値と最小値を求めよ。
ヒント
$f'(x) = 3(x-1)(x-3)$ 。極値に加えて端点 $f(0), f(4)$ を比べる。
解答・解説
極大 $f(1) = 4$ 、極小 $f(3) = 0$ 、端点 $f(0) = 0$ , $f(4) = 4$ 。よって**最大値 4、最小値 0**

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