指数関数と対数関数

指数法則の拡張、対数の性質、2つの関数のグラフと関係。

この単元の目標

📑 目次

対数は「何回掛けたか」を逆に尋ねる道具です。2を何乗すれば8になるかなら3。一方、底が1/2なら掛けるほど小さくなるので、同じ大小比較でも指数の大小は逆向きになります。

底a>1の対数は増加関数、0<a<1なら減少関数です。同じ底の対数を比較するとき、前者は真数の大小をそのまま、後者は逆にします。真数が正である条件は、解を出した後に足すのではなく最初に書きます。

指数式の中にa²ˣとaˣが並んでいるならt=aˣと置くと二次方程式になります。ただしt>0です。対数の和を積にまとめるときも、元の真数がそれぞれ正という条件を保持します。

log(x+y)は一般にlog x+log yではありません。積を和へ変える法則と混同しないこと。また底が0と1の間なら、対数を外す際に不等号の向きが逆になります。

例題：真数条件で候補を絞る

log₂(x−1)+log₂(x−3)=3を解け。

解答・解説

真数条件からx>3。まとめると(x−1)(x−3)=8、すなわちx²−4x−5=0よりx=5,−1。条件に合うx=5のみ。元の式でもlog₂4+log₂2=3です。

例題：1より小さい底の不等式

log₍₁/₂₎(x−1)≥−2を解け。

解答・解説

真数条件はx>1。底1/2では減少関数なので0<x−1≤(1/2)⁻²=4。したがって1<x≤5。右端では対数が−2となります。

練習：判断の理由も確かめよう

4ˣ−5×2ˣ+4=0を解け。
解答・解説
t=2ˣ>0と置くと(t−1)(t−4)=0。t=1,4はいずれも正なのでx=0,2。
log₃(2x−1)<2を解け。
解答・解説
真数条件x>1/2。底3は増加関数なので2x−1<9よりx<5。合わせて1/2<x<5。
100×1.1ⁿ≥200を初めて満たす整数n≥0は。
解答・解説
1.1ⁿ≥2よりn≥log 2/log 1.1≈7.27。最小整数は8。7回なら約194.87、8回なら約214.36です。

ここでは底 $a>0$ とします。実数の指数まで一貫して扱うための条件です。対数ではさらに $a\ne1$ が必要で、真数も正でなければなりません。以下の対数法則は $x>0, y>0$ のもとで使います。

a^x = N \iff x = \log_a N \quad (a > 0, a \ne 1, N > 0)

例題

$\log_2 8 + \log_2 4$ を求めよ。

解答・解説

$3 + 2 =$ **5**（ $\log_2 32 = 5$ とも言える）

練習問題

$\log_3 81$ を求めよ。
ヒント
$81 = 3^4$
解答・解説
**4**
$\log_2 3 = a$ のとき $\log_2 12$ を $a$ で表せ。
ヒント
$12 = 4 \times 3$
解答・解説
$\log_2 4 + \log_2 3 = 2 + a$
$2^x = 10$ を解くとき、 $x$ を対数で表せ。
解答・解説
$x = \log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} \approx 3.32$ （底の変換公式）

トピック第 1 問

次の値を求めよ。

\log_{2} 4 + \log_{2} 64

無限ドリル: 対数の計算が出題されます

確認クイズ（指数・対数）

問1. $\log_a 1$ の値は？（ $a>0, a\neq1$ ）

問2. $y = 2^x$ と $y = \log_2 x$ のグラフの関係は？

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