不定積分と定積分

微分の逆演算としての不定積分と、面積を与える定積分を学ぶ。

この単元の目標

📑 目次

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n=0,1,2,\ldots)

C は積分定数。微分したら元に戻るという条件しかないので、C は任意の定数になります。ここでは数学IIで扱う多項式に範囲を絞ります。不定積分の答えは関数の集まりですが、定積分の答えは数値です。

\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

ここで $F'(x)=f(x)$ となる F を原始関数といいます。まず積分し、それから上端 b と下端 a を代入して引きます。積分定数は $(F(b)+C)-(F(a)+C)$ で消えるため、定積分の答えに +C は付けません。

🔍 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ の導出——微分の逆をたどる

Step 1: 「微分したら xⁿ」になる関数を探す
$\frac{d}{dx} x^{m} = m x^{m-1}$
$(x^m)' = mx^{m-1}$ の公式を逆向きに使う。
Step 2: 次数の条件を合わせる
$m - 1 = n \;\Rightarrow\; m = n+1$
Step 3: 係数を調整
$\frac{d}{dx}\left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right] = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$
掛けた定数は微分しても残るので、1/(n+1) を掛けておけば打ち消し合う。
Step 4: 積分定数
$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
定数 C を加えても微分すれば消えるため、原始関数は無数にある。これが「+C」が必要な理由。

x 軸の上側にある部分では面積を、下側では面積にマイナスをつけた値を足し合わせます。次の図のように、細い長方形の面積の和を無限に細かくする（区分求積法）イメージが元になっています。

区分求積法から定積分へ: 分割を細かくすると長方形の和が曲線下面積に一致

例題

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

解答・解説

交点は $(0,0), (1,1)$ 。面積 $= \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

微分と積分は互いに逆の操作——この事実を微積分学の基本定理といい、ニュートンとライプニッツが独立に発見しました。

$a<b$ とします。定積分では x軸より下の部分が負になるため、そのままでは面積にならないことがあります。面積を求めるには、交点で区間を分け、それぞれで上側の関数から下側の関数を引きます。

S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx

🔍 符号が変わるときの面積——y = x² − 1 と x軸

Step 1: 区切る点を探す
$x^2-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1$
区間 0≦x≦2 では x=1 だけが区間内にある。0≦x≦1 では曲線がx軸の下、1≦x≦2 では上。
Step 2: 正の高さを足し合わせる
$S=\int_0^1(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx$
下側の部分は 0−(x²−1) として符号を反転する。
Step 3: 原始関数に端点を代入
$S=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1+\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2=\frac23+\frac43=2$
符号つきの定積分 ∫₀²(x²−1)dx は 2/3。面積2とは異なる。

練習問題（微分で検算・符号で分割）

$\int(3x^2-4x+2)\,dx$ を求め、微分して確かめよ。
解答・解説
$x^3-2x^2+2x+C$ 。微分すると $3x^2-4x+2$ に戻る。各項を積分し、最後に任意定数 C を1つ付ける。
$\int_{-1}^2(2x+1)\,dx$ を求めよ。
解答・解説
$[x^2+x]_{-1}^2=(4+2)-(1-1)=6$ 。下端が負でも、原始関数の値全体を引く。
曲線 $y=x^2-4$ と x軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
ヒント
交点を求め、交点の間ではどちらが上かを確かめる。
解答・解説
交点の x座標は $-2,2$ 。区間内では x軸が上なので、 $S=\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=[4x-x^3/3]_{-2}^2=\frac{32}{3}$ 。
曲線 $y=x^3$ と直線 $y=x$ で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。
ヒント
交点は x=−1,0,1。x=0 で上下が入れ替わる。
解答・解説
$S=\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx=\frac14+\frac14=\frac12$ 。区間を分けずに差を積分すると正負が打ち消し合い0になるので注意。

トピック第 1 問

次の定積分を求めよ。

\int_0^{1} \left( 6x^2 - 4x - 5 \right) dx

無限ドリル: 二次式の定積分がランダムに出題されます。積分してから上端・下端を代入

トピック第 1 問

次の不定積分を求めよ。

\int \left( 3x - 2 \right)^{3} dx

激ムズ無限ドリル（発展）: 三次式の不定積分と置換積分。積分定数 C を忘れずに

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