微分の応用——接線・法線と速度・加速度

接線・法線の方程式の公式とその由来、位置の関数を微分して速度・加速度を読み取る方法。

この単元の目標

曲線上の指定した点での接線・法線の方程式を求められる
接線の傾きが導関数である理由を平均変化率の極限で説明できる
位置 s(t) から速度・加速度を求め、運動のようすを符号で判定できる

📑 目次

接線と法線の方程式
速度と加速度
練習問題

接線と法線の方程式

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x_1, f(x_1))$ における接線の傾きは、微分係数 $f'(x_1)$ です。接線に直交する直線を法線といい、2直線が垂直のとき傾きの積が $-1$ になることを使います。「接線を求めよ」は微分単元の最頻出アプリケーションなので、公式を即座に書けるレベルにしておきましょう。

y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1)

y = -\frac{1}{f'(x_1)}(x - x_1) + f(x_1)\quad(f'(x_1)\ne0)

🔍 接線の公式はどこから来るのか——割線の極限

Step 1: 曲線上の2点を通る直線（割線）
$m_{PQ} = \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{(x_1 + h) - x_1} = \frac{f(x_1+h) - f(x_1)}{h}$
P $(x_1, f(x_1))$ 、Q $(x_1+h,\ f(x_1+h))$ を結ぶ直線の傾き＝平均変化率です。
Step 2: Q を限りなく P に近づける
$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h} = f'(x_1)$
h → 0 のとき Q は P に重なり、割線は接線に一致します。これが微分係数の定義そのものです。
Step 3: 点と傾きから直線の方程式へ
$y - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1)$
「点 $(x_1, y_1)$ を通り傾き m の直線は $y - y_1 = m(x - x_1)$ 」に代入しただけです。
Step 4: 法線の傾き
$f'(x_1) \cdot m_{\text{法}} = -1 \Longrightarrow m_{\text{法}} = -\frac{1}{f'(x_1)}$
垂直な2直線の傾きの積は −1。ただし $f'(x_1) = 0$ のとき接線は水平で、法線は鉛直 $x = x_1$ になります。

直線	傾き	方程式	チェックポイント
接線	$f'(x_1)$	$y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1)$	接点の y 座標は $f(x_1)$ 。代入忘れに注意
法線	$-\dfrac{1}{f'(x_1)}$ （分母が0でないとき）	$y = -\dfrac{1}{f'(x_1)}(x - x_1) + f(x_1)$	$f'(x_1) = 0$ なら法線は $x = x_1$

速度と加速度

直線上を動く点の時刻 t における位置を $s(t)$ とおくと、速度は位置の微分係数、加速度は速度の微分係数です。微分は「変化の割合」を取り出す操作なので、位置 → 速度 → 加速度と微分を重ねるたびに一段「変化の変化」へ進みます。符号の読み取り（正方向・負方向・折り返し）までセットで押さえましょう。

v = \frac{ds}{dt}, \qquad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}

量	意味	求め方	単位の例
位置 $s(t)$	基準点からの符号つき距離	―（問題で与えられる）	m
速度 $v(t)$	位置の変化の割合	$s(t)$ を微分	m/s
加速度 $a(t)$	速度の変化の割合	$v(t)$ を微分（ $s$ を2回微分）	m/s²

$v > 0$ : 正の向きに進む／ $v < 0$ : 負の向きに進む
$v = 0$ : 一瞬止まっている。折り返し点の候補（前後で v の符号が変われば本当に折り返す）
$v$ と $a$ が同符号 → 速くなる。異符号 → 遅くなる

例題

点 P は直線上を $s = t^3 - 6t^2 + 9t$ ( $t \ge 0$ ) で表される位置を動く。(1) 速度 $v(t)$ を求めよ。(2) P が最初に折り返す時刻と、そのときの位置を求めよ。

解答・解説

(1) $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$ 。(2) $v = 0$ となるのは $t = 1, 3$ 。 $0 < t < 1$ で $v > 0$ 、 $1 < t < 3$ で $v < 0$ なので最初の折り返しは ** $t = 1$ **、そのときの位置は ** $s(1) = 1 - 6 + 9 = 4$ **

練習問題

放物線 $y = x^2$ 上の点 $(1, 1)$ における接線と法線の方程式を求めよ。
解答・解説
傾きは $y' = 2x$ より $2$ 。接線は ** $y = 2x - 1$ **、法線は傾き $-\frac{1}{2}$ で ** $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ **
曲線 $y = x^3 - 3x$ の傾きが 9 である接線をすべて求めよ。（発展）
ヒント
$3x^2 - 3 = 9$ となる接点の x 座標を探す。
解答・解説
$3x^2 - 3 = 9$ より $x = \pm 2$ 。接点は $(2, 2)$ と $(-2, -2)$ なので ** $y = 9x - 16$ ** と ** $y = 9x + 16$ **
位置 $s = t^3 - 6t^2 + 9t$ ( $t \ge 0$ ) で動く点について、加速度 $a(t)$ を求め、 $t = 1$ の直前と直後で速さがどう変化するか答えよ。
ヒント
t=1 では速度は0。前後で速度と加速度の符号を比較する。
解答・解説
$v(t)=3(t-1)(t-3)$ 、 $a(t)=6t-12$ 。 $t=1$ では $v=0$ 、 $a=-6$ 。直前の $0<t<1$ では $v>0,a<0$ なので速さは減少し、直後の $1<t<2$ では $v<0,a<0$ なので速さは増加する。t=1 で停止して折り返すため、その瞬間を単純に「減速中」とは扱わない。
速度が $v(t) = t^2 - 4t + 3$ ( $0 \le t \le 3$ ) のとき、点が負の向きに動いている時間帯を求めよ。
ヒント
$v < 0$ となる $t$ の範囲。
解答・解説
$v = (t-1)(t-3)$ より ** $1 < t < 3$ ** で負の向きに動く

確認クイズ

問1. 曲線上の点での法線の傾きは（ $f'(x_1) \ne 0$ のとき）？

問2. 位置 $s(t)$ を2回微分すると何が得られる？

問3. 速度 $v(t) > 0$ が意味することは？

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