指数の拡張と指数方程式・不等式

分数・実数の指数へ拡張する意味を理解し、底をそろえる方法と正の変数への置換で方程式・不等式を解く。

この単元の目標

指数法則が保たれるように、零・負・分数の指数を定義して計算できる。
底をそろえる方法と t = a^x > 0 の置換で指数方程式を解ける。
底が1より大きい場合と1未満の場合の単調性を区別して指数不等式を解ける。

📑 目次

1．掛け算の回数から実数の指数へ
2．底と単調性：同じ底なら指数を比べる
3．置換するときは t > 0 を必ず付ける

1．掛け算の回数から実数の指数へ

自然数の指数では $a^3=a\cdot a\cdot a$ でした。しかし $a^0$ や $a^{1/2}$ を「掛ける回数」と解釈することはできません。そこで、すでに知っている指数法則が壊れないように意味を広げます。この教材では底は正、すなわち $a>0$ とします。

a^r a^s=a^{r+s},\qquad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s},\qquad (a^r)^s=a^{rs}

🔍 導出：指数法則から零・負・分数の指数を決める

零の指数は割り算から決まる
$a^0=a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1$
$a>0$ なので割り算ができます。 $a^0$ は0ではありません。
負の指数は逆数になる
$a^{-n}=a^{0-n}=\frac{1}{a^n}$
指数の負号は値を負にするのではなく、逆数を表します。
分数の指数は正の累乗根で決める
$(a^{1/n})^n=a,\qquad a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m\quad(m\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N})$
$n$ は正の整数です。正の $n$ 乗根を選ぶので、 $a^{m/n}$ も正です。例えば $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=4$ となります。

無理数の指数は、それに近づく有理数の指数による値を使って、途切れなくつながるように定めます。例えば $2^{\sqrt{2}}$ は $2^{1.4},2^{1.41},2^{1.414},\ldots$ の値から考えられます。厳密な構成は先の学習に譲り、数学IIでは実数の指数にも指数法則が成り立つことを使います。

2．底と単調性：同じ底なら指数を比べる

$a>1$ なら指数が大きいほど値は大きくなり、 $0<a<1$ なら指数が大きいほど値は小さくなります。実際、 $v>u$ のとき $a^v=a^u a^{v-u}$ です。 $a^{v-u}$ が1より大きいか小さいかで増減が決まります。

底の範囲	等式の比較	不等式の比較
$a>1$	$a^u=a^v \iff u=v$	$a^u>a^v \iff u>v$
$0<a<1$	$a^u=a^v \iff u=v$	$a^u>a^v \iff u<v$
$a=1$	すべての指数で値は1	指数の大小は判定できない

例えば $4^x=8$ は $2^{2x}=2^3$ なので $2x=3$ 、よって $x=3/2$ です。「指数同士を等しくする」のは、底をそろえ、その底が1でないと確かめた後に行います。 $2^x=3^x$ から単に指数を比較することはできません。

3．置換するときは t > 0 を必ず付ける

$a^{2x}=(a^x)^2$ なので、 $a^{2x}$ と $a^x$ が混在する式は $t=a^x$ と置けば二次式になります。ただし指数関数の値は必ず正です。二次方程式で得た $t$ の候補から $t\le0$ を除き、最後に $a^x=t$ を解いて元の文字へ戻します。

例題1：負の候補を捨てる指数方程式

$4^x-3\cdot2^x-4=0$ を解きなさい。

解答・解説

$4^x=(2^x)^2$ より $t=2^x>0$ と置くと、 $t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$ 。候補は $t=4,-1$ ですが、 $t>0$ より $t=4$ のみです。 $2^x=4=2^2$ から ** $x=2$ **。検算すると $4^2-3\cdot2^2-4=16-12-4=0$ です。 $t=-1$ に対応する実数 $x$ はありません。

例題2：底が1未満の指数不等式

$\left(\frac12\right)^{2x-1}\ge8$ を解きなさい。

解答・解説

$8=(1/2)^{-3}$ と底をそろえます。底 $1/2$ は1未満なので $2x-1\le-3$ と不等号を逆向きにして、** $x\le-1$ **。境界 $x=-1$ では左辺は8です。範囲内の $x=-2$ では32、範囲外の $x=0$ では2となり、答えの向きも確認できます。

よくある誤解：

2^{-3}=-8

ではなく

1/8

です。

a^{u+v}=a^u+a^v

ではなく

a^u a^v

です。また

\sqrt{9}=3

と、方程式

z^2=9

の解

z=\pm3

は別物です。指数の置換で負の値を許してはいけません。

底を同じ数の累乗で表せるか調べる。分数の底は負の指数でも書ける。
置換をするなら t > 0 を書く。二次不等式の解とも必ず共通範囲を取る。
元の指数へ戻す際に底の増減を確認し、境界と代表値を代入する。

練習：指数計算から置換不等式まで

$27^{2/3}$ と $16^{-3/4}$ を求めなさい。
ヒント
先に分母の数の累乗根を取り、分子の数だけ累乗する。負の指数は最後に逆数へ。
解答・解説
$27^{2/3}=3^2=9$ 。 $16^{-3/4}=2^{-3}=1/8$ 。底が正なので、ここで使う累乗根も正です。
$9^x=27$ を解きなさい。
ヒント
9と27をどちらも3の累乗で表す。
解答・解説
$3^{2x}=3^3$ より $2x=3$ 、** $x=3/2$ **。 $9^{3/2}=(\sqrt9)^3=27$ と検算できます。
$4^x-5\cdot2^x+4\le0$ を解きなさい。
ヒント
$t=2^x>0$ と置き、 $(t-1)(t-4)$ の符号を調べる。
解答・解説
$(t-1)(t-4)\le0$ より $1\le t\le4$ 。これは $t>0$ を満たします。 $1\le2^x\le4$ で底2は増加するので ** $0\le x\le2$ **。両端では左辺0、内側の $x=1$ では $4-10+4=-2$ です。

確認クイズ：条件と向き

問1. $t=3^x$ と置いたとき、t の範囲はどれですか。

問2. $\left(\frac13\right)^x<\left(\frac13\right)^2$ の解は？

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