内分点・直線と円の方程式

1　内分点は「Aから何割進むか」で考える

異なる2点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ に対し、$AP:PB=m:n$（$m,n>0$）となる線分上の点を内分点といいます。AからBへ全体の $m/(m+n)$ だけ進むので、各座標にその割合の変化を加えます。$m$ が大きいほどPはBに近づきます。

中点Mは $m=n$ の場合です。内分点の公式ではAの座標にn、Bの座標にmを掛けます。暗記に不安があれば $x=x_1+\frac{m}{m+n}(x_2-x_1)$ と書き直すと、係数を取り違えずに済みます。

2　直線の方程式と例外

点 $(x_0,y_0)$ を通り傾きkの直線は $y-y_0=k(x-x_0)$。2点を通る直線では、$x_1\ne x_2$ なら $k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ とします。$x_1=x_2$ なら垂直な直線 $x=x_1$ であり、傾きを計算しません。一般形 $ax+by+c=0$ では $(a,b)\ne(0,0)$ が必要です。

傾きがともに定義される2直線では、平行なら傾きが等しく、垂直なら傾きの積が $-1$ です。水平線と垂直線も互いに垂直ですが、積の公式では扱えません。一般形で $b\ne0$ のときの傾きは $-a/b$ であり、aそのものではありません。

3　円の方程式は距離の2乗

中心 $C(h,k)$ から距離r（$r>0$）の点全体が円です。距離の公式を2乗すると $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$。例えば $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ を平方完成すると $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ なので、中心 $(2,-3)$、半径5と読み取れます。

4　点と直線の距離を導く

点 $P(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は、垂線の足Hまでの長さです。直線に垂直な方向では座標の変化を $(at,bt)$ と表せます。これは直線方向の変化 $(b,-a)$ と直角になる方向です。以下では $a^2+b^2>0$ とします。

5　接するとは共有点がちょうど1個

• 円の中心と直線の距離をd、半径をrとすると、$d<r$ は共有点2個、$d=r$ は接する、$d>r$ は共有点なし。接点は中心から下ろした垂線の足。
• 半径 $r_1,r_2>0$ の相異なる2円では、中心間距離 $d=r_1+r_2$ なら外接、$d=|r_1-r_2|>0$ なら内接。
• $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ なら2円は2点で交わる。同じ中心・同じ半径の円は一致し、接するとはいわない。