軌跡と領域：逆向きの確認と境界

軌跡を必要十分な条件で記述し、除外点・不等式の共通部分・境界の扱いを確かめる。

この単元の目標

動点の条件を方程式に直し、逆向きの成立まで確認できる
元の条件に戻って、軌跡の範囲と除外点を明示できる
不等式の領域と共通部分を、境界の含まれ方まで説明できる

📑 目次

1　軌跡は「条件を満たす点の全体」
2　必要条件・十分条件を区別する
3　パラメータを消した後にも条件が残る
4　不等式は線のどちら側かを指定する

1　軌跡は「条件を満たす点の全体」

軌跡とは、ある条件を満たして動く点Pが通る点の集合です。Pの座標を $(x,y)$ と置き、距離や位置の条件を式に翻訳します。ただし式が得られただけでは完成ではありません。その式上のすべての点が本当に元の条件を満たすか、逆向きも確かめます。

順向き：元の条件を満たす点Pなら、導いた方程式・範囲の条件を満たすことを示す。
逆向き：方程式・範囲の条件を満たす任意の点Pから、元の条件を満たす動点やパラメータを作れることを示す。
結論：曲線や直線の名前だけでなく、範囲・端点・除外点も付けて答える。

2　必要条件・十分条件を区別する

条件pがqの十分条件とは $p\Rightarrow q$ が成り立つこと、pがqの必要条件とは $q\Rightarrow p$ が成り立つことです。両方成り立つとき必要十分条件といい、 $p\Leftrightarrow q$ と書きます。軌跡の式は、元の条件に対して必要十分であることを目指します。

主張	確認
$x=2$ は $x^2=4$ の十分条件	x=2を代入すれば必ず4になる。
$x^2=4$ は $x=2$ の必要条件	x=2なら必要だが、x=−2も許すので十分ではない。
$x=2$ または $x=-2$ は $x^2=4$ の必要十分条件	実数の範囲では両方向とも成立する。

🔍 2点から等距離の点：変形を両方向に読む

① 距離の条件
$A(1,0),\ B(3,2),\ P(x,y):\quad PA=PB$
A,Bは固定点。Pは平面全体から選び、最初から範囲は制限しない。
② 非負の距離を2乗する
$PA=PB\ \Leftrightarrow\ (x-1)^2+y^2=(x-3)^2+(y-2)^2$
距離はともに非負なので、2乗した値が等しければ距離も等しい。ここで余分な点は生じない。
③ 展開・整理して逆向きも確認
$4x+4y-12=0\ \Leftrightarrow\ x+y=3$
展開・移項は逆にたどれるので、この直線上の任意の点は等距離条件を満たす。中点(2,1)を通り、傾き−1の垂直二等分線で、除外点はない。

3　パラメータを消した後にも条件が残る

例題1　tを消去しても、t≠0は忘れない

実数tが0以外のすべての値を動くとき、点 $P(2t+1,t^2)$ の軌跡を求めよ。範囲と除外点を明記せよ。

解答・解説

$x=2t+1$ より $t=(x-1)/2$ 。これを $y=t^2$ に代入すると $y=(x-1)^2/4$ 。さらに $t\ne0$ より $x\ne1$ 。逆に、この放物線上で $x\ne1$ の任意の点に $t=(x-1)/2$ を選べば、tは0でなく元の座標を再現する。したがって軌跡は放物線 $y=(x-1)^2/4$ から頂点 $(1,0)$ を除いたもの。例えばt=1では(3,1)、t=−1では(−1,1)となり両側を通る。

分母を払う・式を2乗する・パラメータを消去する操作では、定義域の条件が失われることがあります。ただし「途中で分母が0になった点は必ず除外」とも限りません。傾きの式を使えないだけで垂直線が存在する場合もあります。除外するかどうかは、計算上の都合でなく元の問題条件で判断します。

4　不等式は線のどちら側かを指定する

直線 $ax+by+c=0$ は平面を2つの半平面に分けます。 $ax+by+c>0$ を満たす側を知るには、境界上にない点を1つ代入します。原点が境界上なら別の点を選びます。 $y>2x-1$ なら直線の上側ですが、yの係数が負の式を変形するときは不等号の反転に注意しましょう。

円の場合、 $(x-h)^2+(y-k)^2<r^2$ は中心からの距離がr未満、つまり円の内部です。 $>r^2$ は外部です。等号があれば円周も含みます。この内外の説明は半径 $r>0$ の円を考えていることが前提です。

$<,>$ はその不等式の境界を含まない。図に描くなら破線で表す。
$\le,\ge$ はその不等式の境界を含む。図に描くなら実線で表す。
連立不等式は「かつ」なので領域の共通部分。境界上でも、ほかの条件を満たさない点は含まれない。
「または」で結ぶ条件なら、少なくとも一方を満たす領域の和集合になる。

例題2　円の内部と半平面の共通部分

連立不等式 $x^2+y^2\le4$ 、 $y>1$ の領域を言葉で説明せよ。直線 $y=1$ と円周の交点、交点を含むか、円周上の点 $(0,2)$ を含むかも答えよ。

解答・解説

原点中心・半径2の円の内部と円周のうち、直線y=1より上の部分。交点は $x^2+1=4$ より $(\sqrt3,1),(-\sqrt3,1)$ だが、y>1を満たさず両方とも含まない。直線y=1上の弦も含まない。一方、円周のうちy>1の弧は含み、(0,2)も $0+4\le4$ かつ $2>1$ なので含む。

練習問題：逆向きと境界を確認

$A(-2,1),B(4,3)$ からの距離が等しい点Pの軌跡を求めよ。逆向きの確認も述べよ。
ヒント
距離を2乗し、展開すると2次の項が消える。
解答・解説
$(x+2)^2+(y-1)^2=(x-4)^2+(y-3)^2$ より $12x+4y-20=0$ 、すなわち直線 $3x+y-5=0$ 。この直線上なら逆の変形で距離の2乗が等しく、距離は非負なのでPA=PB。よって全直線が軌跡で除外点なし。中点(1,2)も式を満たす。
実数tが $t>0$ を動く。 $A(2,0)$ と $Q(t,t^2)$ の中点Pの軌跡を求めよ。
ヒント
$x=(2+t)/2$ 、 $y=t^2/2$ と置き、tの範囲もxの条件に直す。
解答・解説
$t=2x-2$ より $y=2(x-1)^2$ 、 $x>1$ 。逆にこの式と範囲を満たす点なら $t=2x-2>0$ で元の中点を再現できる。軌跡は放物線のx>1の部分で、端点(1,0)は含まない。t=2では中点(2,2)となり式を満たす。
$x\ge0$ 、 $y>0$ 、 $x+y\le4$ の共通領域を説明せよ。境界となる3本の直線の交点を求め、各辺と頂点が含まれるかも述べよ。
ヒント
境界はx=0、y=0、x+y=4。各点に3条件をすべて適用する。
解答・解説
3交点はO(0,0)、A(4,0)、B(0,4)。領域は三角形OABの内部に、辺OBのOを除いた部分と辺ABのAを除いた部分を加えたもの。辺OAは両端を含め除外。頂点はBだけを含む。例えば(1,1)は内部で全条件を満たし、(2,0)はy>0を満たさない。

確認クイズ

問1. tが0以外の実数全体を動くとき、点 $(t,1/t)$ の軌跡は？

問2. 実数xについて、 $x>0$ は $x>3$ であるためのどの条件？

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1 軌跡は「条件を満たす点の全体」

2 必要条件・十分条件を区別する

3 パラメータを消した後にも条件が残る

4 不等式は線のどちら側かを指定する

1　軌跡は「条件を満たす点の全体」

2　必要条件・十分条件を区別する

3　パラメータを消した後にも条件が残る

4　不等式は線のどちら側かを指定する