三角比と正弦定理・余弦定理

sin・cos・tan を鈍角まで拡張し、三角形の辺と角の計算に使う。

この単元の目標

三角比の相互関係を理解し利用できる
正弦定理・余弦定理を使い分けて三角形の計量ができる

📑 目次

単位円による三角比の拡張
正弦定理
余弦定理
発展：2つの定理の使い分けと面積公式
練習問題

単位円による三角比の拡張

直角三角形だけでは扱えなかった 90° をこえる角も、単位円上の点の座標として自然に定義できます。単位円上の点 P の x座標が cos θ、y座標が sin θ です。

単位円と三角比（θ = 60° の例）と各象限での符号

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

🔍 なぜ sin²θ + cos²θ = 1 が成り立つのか——単位円からの導出

Step 1: 単位円上の点
$P(\cos\theta, \sin\theta) \quad (\text{半径 } 1)$
原点 O、点 P、そして x 軸への垂線の足 Q を考える。P が座標軸上にある場合は円の方程式で直接確認できる。
Step 2: 三平方の定理を適用
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
OP は半径なので 1。長さは負にならないため、OQ = |cos θ|、PQ = |sin θ|。二乗すれば絶対値は外れる。
Step 3: 代入
$1^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta$
単位円の方程式 $x^2+y^2=1$ に座標を代入した等式でもあるため、点が座標軸上にある場合を含めて成立する。

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad(\cos\theta\ne0)

正弦定理

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

1組の「角とその対辺」がわかっていて、別の角からその対辺を求めるときなどに有効です（R は外接円の半径）。別の辺から角を求める場合は、同じ正弦をもつ鋭角と鈍角の2通りが候補になることにも注意します。

三角形の角と対辺の対応、2つの定理の使い分け

余弦定理

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

🔍 余弦定理の導出——座標平面に置いて三平方を使うだけ

Step 1: 配置を決める
$A(0,0), \quad B(c, 0), \quad C(b\cos A, b\sin A)$
A を原点に、AB を x 軸に沿って置く。AC = b が角 A の方向に伸びるので C の座標はこう書ける（三角比の定義そのもの）。
Step 2: BC の距離を二乗差で計算
$a^2 = BC^2 = (b\cos A - c)^2 + (b\sin A - 0)^2$
2点間の距離の公式（実質は三平方の定理）。
Step 3: 展開と整理
$= b^2\cos^2 A - 2bc\cos A + c^2 + b^2\sin^2 A$
Step 4: sin²+cos² = 1 でまとめる
$a^2 = b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) + c^2 - 2bc\cos A = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
A = 90° なら cos A = 0 となり、三平方の定理 $a^2 = b^2+c^2$ に戻る——余弦定理は三平方の「鈍角・鋭角への一般化」です。

2辺とそのはさむ角から第3辺を求めるとき、あるいは3辺から角度を求めるときに有効。A = 90° とすると三平方の定理に一致します。

例題

b = 5, c = 8, A = 60° のとき a を求めよ。

解答・解説

$a^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \tfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ 。よって $a = 7$

発展：2つの定理の使い分けと面積公式

わかっている情報が「角 2 個以上」→ 正弦定理（対辺の組をつくれるか確認）
わかっている情報が「2辺とはさむ角」「3辺」→ 余弦定理
面積 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ （はさむ角版の $\dfrac{1}{2}\times$ 辺 $\times$ 辺 $\times$ sin）
外接円の半径が必要なときは正弦定理の $= 2R$ を逆に使う: $R = \dfrac{a}{2\sin A}$

発展例題（面積＋余弦定理）

AB = 6, AC = 5, A = 60° の三角形 ABC について、辺 BC の長さと面積を求めよ。

解答・解説

$BC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cos 60° = 61 - 30 = 31$ より $BC = \sqrt{31}$ 。面積 $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \sin 60° = \frac{15\sqrt{3}}{2}$

三角比を「回転角 θ で定義する関数（三角関数）」に拡張すると数学IIの内容に、さらに弧度法（ラジアン）を導入すると微積分で本領を発揮します。

トピック第 1 問

三角比を求めよ。

\tan 120^\circ

無限ドリル: 特別な角の三角比が出題されます。単位円を思い出して答えよう

練習問題

$\sin \theta = \dfrac{3}{5}$ （ $90° < \theta < 180°$ ）のとき $\cos \theta$ , $\tan \theta$ を求めよ。
ヒント
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 。第2象限では cos は負。
解答・解説
$\cos\theta = -\frac{4}{5}$ 、 $\tan\theta = -\frac{3}{4}$
三角形 ABC で A = 30°, B = 105°, b = 6 のとき a を求めよ。（ $\sin 105° = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ を使ってよい）
ヒント
正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ 。角と対辺の対応（A↔a, B↔b）に注意。
解答・解説
$a = 6 \cdot \dfrac{1/2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} = \dfrac{12}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
3 辺が 4, 5, 6 の三角形の最大の角を C とする。cos C を求めよ。
ヒント
最大の角は最長辺 6 の対角。余弦定理を cos について解く。
解答・解説
$\cos C = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$
AB = 3, BC = 5, CA = 7 の三角形の面積を求めよ。（発展）
ヒント
まず余弦定理で cos B（辺 AB・BC にはさまれる角）を求める。
解答・解説
$\cos B = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = -\frac{1}{2}$ より $B = 120°$ 。 $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \sin B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

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