数学の雑学
0.999…=1 の証明から未解決問題まで。数学の「へぇ」集。
この単元の目標
- 有限小数と無限小数の違いを説明する
- カプレカ操作を条件と先頭の0に注意して計算する
- 有限個の検証と一般的な証明を区別する
0.99999… は 1 と等しい。 1/3 = 0.333… の両辺を3倍すれば納得。無限小数は「限りなく近い別の数」ではなく、そのものを表します。
カプレカ定数 6174。 少なくとも2種類の数字を含む4桁の整数から始め、数字を大きい順・小さい順に並べて差をとります。途中の結果も先頭に0を補って4桁として扱うと、最大7回で6174に到達します。全桁が同じ数は例外で、1111−1111=0となります。同様の条件で3桁版は495です。
まだ解けていない問題たち: ゴールドバッハ予想は「2より大きいすべての偶数は、2つの素数の和で表せる」という主張です。また、奇数の完全数が存在するかも未解決です。完全数は、自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しい数（例: 6=1+2+3）です。巨大でも有限の範囲を調べただけでは、無限に続く整数全体についての証明にはなりません。ただし、対象が有限で全場合を漏れなく調べた場合は、それも証明になり得ます。
「9が無限に続く」の意味を確かめよう
小数点以下に9がn個並ぶ有限小数を考えると、1との差は10のn乗分の1です。nをいくら増やしても有限なら差は正ですが、無限小数はこの列の極限として定義されます。その極限で差は0になり、0.999…=1です。「最後の桁のさらに先に小さな差が残る」という考え方は、最後の桁が存在しない無限小数には当てはまりません。
具体例：3524から6174へ
3524からカプレカ操作を繰り返して、6174に達するまで計算しよう。
解答・解説
5432−2345=3087、8730−0378=8352、8532−2358=6174。3回で到達します。さらに7641−1467=6174なので、その後は値が変わりません。0378の0を落として次の桁数を減らさないことが大切です。
条件と計算を確かめる問題
0.999と1の差はいくつ？ また、0.999…と1の差はいくつ？
解答・解説
有限小数0.999との差は0.001。無限小数0.999…は1そのものなので差は0です。点々が「9が無限に続く」ことを表すかを区別します。
1000にカプレカ操作を1回行うと？ 次の操作のために4桁で書こう。
解答・解説
1000−0001=999なので、0999と書きます。次は9990−0999=8991です。
「すべての偶数は2つの素数の和」と書くと、なぜ不正確？ 28については実例を挙げよう。
解答・解説
2は最小の素数2を2つ足した4より小さく、2つの素数の和にできません。「2より大きい偶数」と限定します。28=5+23などは成り立ちますが、1例だけで予想全体を証明したことにはなりません。
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