正規分布と中心極限定理

なぜ世の中に正規分布が多いのか。中心極限定理と大数の法則、区間推定への入口。

この単元の目標

正規分布の密度関数と標準化を扱える
中心極限定理を述べて応用を説明できる
大数の法則と中心極限定理の違いを区別できる

正規分布

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)

平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ をパラメータにもつ釣り鐘型の分布。 $\mu = 0, \sigma = 1$ に変換することを標準化といい、 $Z = (X - \mu)/\sigma$ は標準正規分布に従います。「68–95–99.7 則」（±1σ に約 68%、±2σ に約 95%）は実務上の目安として重要です。

中心極限定理（CLT）

\bar X_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i,\qquad \frac{\sqrt n(\bar X_n-\mu)}{\sigma}\xrightarrow{d}N(0,1)

独立同分布の標本で、平均 $\mu$ と分散 $0<\sigma^2<\infty$ をもつとき、標本平均は十分大きな n で近似的に正規分布に従う——これが統計的推測の土台です。母集団の分布を知らなくても「平均 ± 誤差」の区間推定や検定ができるのは CLT のおかげです。

大数の法則： $n \to \infty$ で標本平均が $\mu$ に「ほぼ一致していく」（収束の話）
中心極限定理：揺らぎ $\bar X_n-\mu$ を標準誤差 $\sigma/\sqrt n$ で割った量の分布が標準正規分布に近づく（分布の形の話）
誤差は $1/\sqrt{n}$ でしか減らない——精度を 10 倍にするにはデータを 100 倍に

二項分布

B(n, p)

は

np(1-p) \ge 10

程度なら正規分布

N(np, np(1-p))

で近似できます（ド・モアブル＝ラプラスの定理）。試験問題でも頻出の近似です。

例題

サイコロを 900 回投げたとき、出目の合計が 3000 を超える確率は概ねどの程度か。（ $E[X] = 3.5$ , $V[X] = 35/12$ ）

解答・解説

独立に投げた公平なサイコロの合計 $S$ は近似的に $N(900 \times 3.5,\; 900 \times 35/12) = N(3150, 2625)$ に従う。 $z = (3000 - 3150) / \sqrt{2625} \approx -2.93$ より **約 99.8%** で 3000 を超える

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