固有値の応用——冪計算・フィボナッチ・マルコフ連鎖

🔍 フィボナッチ数列の一般項（ビネーの公式）を固有値で導く

1. Step 1: 漸化式を 2 元の線形系に書き換える
   $$\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

   隣接 2 項を状態ベクトルとみなせば、n ステップ後の状態は $A^n$ の適用で決まる。

2. Step 2: 固有方程式を解く
   $$\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

   黄金比 $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1.618$ と $\psi = (1 - \sqrt{5})/2$ が姿を現す。

3. Step 3: 対角化して n 乗を明示する
   $$A^n = P \begin{pmatrix} \varphi^n & 0 \\ 0 & \psi^n \end{pmatrix} P^{-1} \;\Longrightarrow\; F_n = c_1 \varphi^n + c_2 \psi^n$$

   解は固有モード $\varphi^n$ と $\psi^n$ の線形結合として書ける（重ね合わせの原理）。

4. Step 4: 初期条件 F_0 = 0, F_1 = 1 で係数を決める
   $$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\varphi - \psi} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$$

   整数の数列が無理数の冪の差で厳密に表われる——線形漸化式の美しい帰結。

🔍 なぜ遷移行列は必ず固有値 1 をもつのか

1. Step 1: 遷移行列の構造
   $$p_{n+1} = M p_n, \qquad m_{ij} \ge 0, \quad \text{各列の和は } 1$$

   列 j は「状態 j にいるなら次の瞬間どこかに必ず移る」確率の配分を表す。

2. Step 2: 左から 1 ベクトルを掛ける
   $$\mathbf{1}^T M = \mathbf{1}^T, \qquad \mathbf{1} = (1, 1, \dots, 1)^T$$

   列和がすべて 1 という条件を、行ベクトルとの積で書いたもの。

3. Step 3: 転置して右固有ベクトルの関係へ
   $$(M - I)^T \mathbf{1} = 0 \;\Longrightarrow\; \det(M - I) = \det\left( (M - I)^T \right) = 0$$

   転置しても行列式は不変なので、M 自身も固有値 1 をもつことが従う。

4. Step 4: 定常分布の正体
   $$M \pi = \pi, \qquad \text{成分の和が } 1 \text{ になるよう規格化}$$

   定常分布には、固有値 1 の固有ベクトルであることに加えて、全成分が非負で総和 1 であることが必要です。固有値 1 が単純で、他の固有値の絶対値が 1 未満なら、どんな初期分布も唯一の定常分布へ収束します。定常分布の存在だけでは収束や一意性は保証されません。