テイラー展開と偏微分

関数の多項式近似、多変数関数の微分と極値問題。

この単元の目標

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \qquad \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

テイラー展開は「関数の多項式近似」。剰余を評価したうえでの極限計算、数値計算、物理学の摂動論の基礎になります。

\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right), \qquad D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2

微分可能な関数の定義域の内点では、極値候補は $\nabla f=0$ （停留点）。境界や微分不能点は別に調べる
停留点の近傍で二階偏導関数が連続なら、 $D>0$ , $f_{xx}>0$ で極小、 $D>0$ , $f_{xx}<0$ で極大、 $D<0$ で鞍点。 $D=0$ は判定不能
勾配ベクトル $\nabla f$ は「最も急峻に増加する方向」——機械学習の勾配降下法の核心

例題

$f(x, y) = x^2 + y^2 - xy$ の極値を求めよ。

解答・解説

$f_x = 2x - y = 0$ , $f_y = 2y - x = 0$ より停留点 $(0,0)$ 。 $D = 2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0$ , $f_{xx} = 2 > 0$ より**極小値 0**

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