フーリエ解析——任意の波は sin の合成

周期関数を周波数成分に分解し、音声・画像処理への道を開く。

この単元の目標

フーリエ級数の構造（係数＝内積）を説明できる
時間領域と周波数領域の関係を述べられる

フーリエ級数

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx \,dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\, dx

ここでは周期 2π の区分的に滑らかな関数を考えます。級数は連続点で f の値、不連続点で左右極限の平均に収束します。係数は「 $f$ と各 cos/sin の内積」。三角関数が直交系をなすため、欲しい成分だけを選び出せます。これは線形代数の「正規直交基底への射影」と同じ操作です。

なぜ便利か

微分が掛け算に変わる: フーリエ変換すると $\partial/\partial t \to i\omega$ 。微分方程式が代数方程式になり解きやすい
フィルタリング：周波数帯ごとに成分を調整する。高周波ノイズにはローパスが有効だが、低周波ノイズもある。JPEG は離散コサイン変換後の量子化などを用い、単純な高周波の削除だけではない
スペクトル分析: 光のスペクトル、音楽の音色、地震波の解析すべてがここに基づく

例題

周期 $2\pi$ で、 $0<x<\pi$ では 1、 $-\pi<x<0$ では −1 となる矩形波のフーリエ級数を求めよ。不連続点では値を 0 とする。

解答・解説

奇関数なので $a_0=a_n=0$ 。 $b_n=(2/\pi)\int_0^\pi\sin(nx)\,dx=2(1-(-1)^n)/(n\pi)$ より、偶数 n では 0、奇数 n では $4/(n\pi)$ 。級数は $\frac4\pi(\sin x+\sin3x/3+\sin5x/5+\cdots)$ 。不連続点では左右極限の平均 0 に収束する。

不確定性原理「時間的に局在した信号ほど広い周波数帯を持つ」は、量子力学の ΔxΔp ≥ ℏ/2 と同じ数学（フーリエ対）です。

練習問題

周期 T の信号で、基本周波数はいくらか。
解答・解説
$f_1 = \dfrac{1}{T}$ 。第 n 高調波は $nf_1$ 。
ノイズが高い周波数に集中しているとき、取り除くにはどんな処理をするか。
ヒント
低域通過フィルタ
解答・解説
**フーリエ変換 → 高周波成分を減衰（ローパス）→ 逆変換**。

確認クイズ（フーリエ）

問1. フーリエ変換は信号をどの観点から見るか。

問2. JPEG 圧縮で使われるのはどれか。

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