常微分方程式——変化の法則を解く

分離変数・線形方程式から、現象を記述する微分方程式を読む。

この単元の目標

変数分離形と一次線形微分方程式を解ける
減衰振動や人口増加など、モデルとの対応を説明できる

📑 目次

微分方程式とは
変数分離形
一次線形（積分因子）

微分方程式とは

未知関数の導関数を含む方程式。「今の状態が、この先どう変化するか」を直接書いたものです。物理・化学・経済・疫学のほぼすべてがここに落ちます。

変数分離形

\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \;\Rightarrow\; \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx

変数分離で

g(y)

で割るのは

g(y)\ne0

の区間だけです。

g(c)=0

なら定数解

y(x)=c

があるので、先に取り出しておきます。例えば

y^{\prime}=xy

で y を割ると

y=0

が見えなくなりますが、最終形

y=Ae^{x^2/2}

に

A=0

を含めれば回収できます。

🔍 変数分離はなぜ「dy と dx を分ける」ことで解けるのか

Step 1: 元の方程式
$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$
Step 2: g(y) で割る
$\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx} = f(x)$
左辺は合成関数の微分の形になっていることに注目する。
Step 3: 合成関数の微分として認識
$\frac{d}{dx}\left[ G(y(x)) \right] = f(x) \quad (G'(y) = 1/g(y))$
G を 1/g の原始関数とすると、左辺はまさに連鎖律による微分。ここが核心です。
Step 4: 両辺を x で積分
$G(y) = \int f(x)\,dx + C \quad\Longleftrightarrow\quad \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$
形式的に「dy と dx を分けてそれぞれ積分」した形と一致する。だから分離変数は正当な手続きです。

例題（放射壊変）

$\lambda>0$ 、 $N(0)=N_0>0$ として $\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N$ を解け。

解答・解説

$\dfrac{dN}{N}=-\lambda dt$ を積分して $\ln N=-\lambda t+C$ 。初期値より $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$ 。 $N(t)/N_0=1/2$ を解くと半減期は $t_{1/2}=\ln2/\lambda$ 。なお $N_0=0$ なら定数解 $N=0$ となる。

一次線形（積分因子）

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \;\Rightarrow\; y = e^{-\int P}\left( \int Q e^{\int P} dx + C \right)

RC回路: $R\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = V$ → 時定数 $\tau = RC$ で充電曲線が決まる
ロジスティック方程式: $\dot N = rN(1 - N/K)$ → 環境収容力 K へ飽和する増加
減衰振動: $m\ddot x + c\dot x + kx = 0$ → 摩擦のあるバネ。過減衰・臨界・不足減衰に分類

練習問題

$\dfrac{dy}{dx} = xy$ を解け。
ヒント
変数分離。
解答・解説
$\dfrac{dy}{y} = x\,dx$ → $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$ → $y = Ae^{x^2/2}$
半減期 8 日の物質の壊変定数 λ を求めよ。
解答・解説
$\lambda = \dfrac{\ln 2}{8} \approx$ **0.0866 /日**
ロジスティック方程式で N ≪ K のときの増殖のようすを述べよ。
ヒント
$(1-N/K) \approx 1$ 。
解答・解説
$\dot N \approx rN$ となり、**初期は指数関数的増加**。K に近づくと速度が 0 に向かい飽和する。

確認クイズ（微分方程式）

問1. 放射性物質の量は時間とともにどう減るか。

問2. RC回路の時定数 τ = RC は何を表すか。

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