確率変数と期待値・分散

確率変数・確率分布を導入し、期待値・分散・共分散をデータ分析の言語として身につける。

この単元の目標

📑 目次

確率変数は「値が偶然で決まる量」を表す関数です。離散型は確率質量 $P(X = x_i)$ 、連続型は確率密度 $f(x)$ （非負で、全領域での積分が 1）で分布を指定します。

E[X] = \sum_i x_i P(X = x_i), \qquad V[X] = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2

\mathrm{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y], \qquad \rho = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}, \quad -1 \le \rho \le 1

相関係数には両変数の分散が有限かつ正であることが必要です。相関は「直線的な関係の強さ」であり因果関係を保証しません。また

\rho = 0

でも非線形な関係（

Y = X^2

など）はあり得ます。

例題

$X$ , $Y$ を独立で $E[X] = 1$ , $V[X] = 4$ , $E[Y] = -2$ , $V[Y] = 9$ とする。 $Z = 2X + Y$ の期待値と分散を求めよ。

解答・解説

$E[Z] = 2(1) + (-2) =$ **0**。独立性より $V[Z] = 2^2 \cdot 4 + 1^2 \cdot 9 =$ **25**

練習問題

公平なサイコロ 1 個の出目を $X$ とする。 $E[X]$ と $V[X]$ を求めよ。
ヒント
$E[X] = \frac{1}{6}(1 + 2 + \cdots + 6)$ 、 $E[X^2] = \frac{1}{6}(1^2 + \cdots + 6^2)$ 。
解答・解説
$E[X] = 3.5$ 。 $E[X^2] = \frac{91}{6}$ より $V[X] = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 =$ ** $\frac{35}{12}$ **
公平なコインを独立に 5 回投げるとき、表が出た回数 $X$ の期待値と分散を求めよ。（二項分布 $B(n, p)$ の結果を使ってよい）
解答・解説
$E[X] = np = 2.5$ 、 $V[X] = np(1-p) =$ **1.25**
$X$ , $Y$ が独立で平均 0、分散 1 に従うとき、 $W = X - Y$ の期待値・分散を求めよ。
ヒント
共分散項は独立なら消える。符号に注意（ $(-Y)^2 = Y^2$ ）。
解答・解説
$E[W] = 0$ 、 $V[W] = V[X] + V[Y] =$ **2**（引き算でも分散は足し合わさる）

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